Pavel S.Vorontsov (li_bao) wrote,
Pavel S.Vorontsov
li_bao

Categories:

шары и стенки или удар из зазеркалья

Тут вот случился неожиданно в КЖП массовый приступ игры в юных математиков-физиков. Сперва дня три народ мучал двери с козами и автомобилями, потом понеслось - и я не удержался и вытащил из дальнего уголка памяти задачку о двух шариках и стенкой. Совершенно неожиданно для меня задачка поставила в тупик многих людей. В том числе и меня - потому что объяснял я ее детям уже давно и как это правильно надо делать успел основательно подзабыть. Пришлось срочно вспоминать. Выкладки помещаю ниже, там много всякой (довольно простой) физики, не хотите - не читайте.

Итак, постановка задачи.
На неподвижную стенку налетают два одинаковых абсолютно упругих мячика со скоростью V. Летят они "соосно", то есть цугом, друг за дружкой. После удара тот мячик, что ближе к стенке, остается возле стены (но не прилипает!), а скорость второго надо найти. Картинки примерно такие:

          |
OO -> |
V |

рис 1.1) до удара
          |
<- O O|
U=? |

рис 1.2) после удара

Правильный ответ (U=3V) привел в замешательство почтеннейшую публику. Как же так! - воскликнула публика - Этак же можно извлекать энергию из ничего! А-я-яй! Закон сохранения незыблем и выполняется всегда, а тут, вишь, сколько энергии изниоткуда взялось! Вот мол было сперва E=2*m*V^2/2, а стало E=m*(3V)^2/2. Это ж откуда взялось-то! Все мои робкие указания на то, что над мячиком была произведена работа со стороны второго мячика и стены были отринуты: не может покоящаяся стена совершать работу! И все тут... Ну что ж. Не может - и не надо. Однако давайте разбираться по порядку и начнем издалека.

Итак, пойдем от простого к сложному. Самая простая задачка про стенку и шарик такая: берем один шарик и стукаем о стенку:
          |
O -> |
V |

рис 2.1) до удара
          |
<- O |
U=? |

рис 2.2) после удара

Поскольку удар абсолютно упругий, U=V. То есть шарик отразится от стены с той же скоростью. Можно сказать, что вся та энергия, которую шарик "отдал" стене, она же ему и "вернула" (на самом деле стена ничего никому не возвращала, это в шарике происходило преобразование энергии из кинетической в потенциальную энергию упругой деформации и обратно, но не суть). Задача настолько проста и очевидна, что долго ее обсуждать не стоит. Однако же давайте посмотрим на весь тот же самый процесс из другой системы отсчета, а именно - двигаясь в том же направлении и с той же скоростью, что и шарик до удара. Что мы увидим? А вот что:
          |
O <- |
V |

рис 3.1) до удара
          |
<- O <- |
U=? V |

рис 3.2) после удара

После некоторого раздумья мы придем к ответу U=2V. Собственно такой ответ получается сразу как только мы перешли в другую систему отсчета - достаточно из нее посмотреть на рис 2.2. Но как же так?! Получается, что шарик, покоившийся изначально, приобрел немалую толику энергии и начал двигаться! Получается, что стена совершила над ним работу A=DE=m*(2*V)^2/2-0=2*m*V^2 !!!

Вот так так. Мы всего лишь перешли из одной инерционной системы отсчета в другую и получили принципиально иную картину эксперимента! Тут что-то не так.

На самом деле никаких парадоксов тут конечно нет. Переход в иную систему отсчета заставил стену двигаться, а, стало быть, стена приобрела внушительную порцию "кинетической энергии" (вообще говоря - бесконечно много, поскольку по сравнению с шариком стена "бесконечно тяжела"). Вот из этой-то "энергии" стена и совершила работу по разгону шарика до скорости 2V и сама не замедлилась - у неё еще много осталось. При переходе в систему отсчета стены все возвращается на место и никакой дополнительной работы никто не совершает. Для пояснения такого рода "парадоксов" и решения таких задач в школьной физике есть очень хороший метод - метод отражений. Он позволяет школьникам посчитать например плотность распределения поверхностного заряда на проводнике при поднесении к нему одиночного заряда - задача, требующая вообще говоря, знания непростой математики, сводится к простой путем расположения фиктивного заряда внутри проводника в зеркальном отражении от заряда реального. В нашем случае мы будем "зеркалировать" не заряд, но шарик. Вот как будет выглядеть картинка для первой (самой простой) задачи:
          |
O -> | <- O
V | V

рис 4.1) до удара
          |
<- O | O ->
V | V

рис 4.2) после удара

Два одинаковых шарика сходятся в лобовом ударе и разлетаются с начальными скоростями. Все легко и непринужденно. Для задачи с движущейся стеной картинка немного чуть-чуть более иная:
          |
O <- | <- O
V | 2V

рис 5.1) до удара
          |
<- O <- | O
2V V |

рис 5.2) после удара

Нам пришлось взять шарик, идентичный натуральному исходному, но запульнуть его навстречу столкновению с бОльшей скоростью. В результате суммарный начальный импульс системы двух шаров стал равным P=2*m*V и точно таким же он остался после столкновения. Более того, теперь никакой "магически появившейся" работы ниоткуда не возникает - система двух шаров ведет себя обычным, вполне предсказуемым образом. Теперь я могу попытаться сформулировать правило, по которому надо добавлять "зеркальный" фиктивный шарик в задачу со стенкой чтобы в результате получить корректное решение.

"Фиктивный" шарик, равный по массе и свойствам шарику из задачи вводится таким образом, чтобы суммарный импульс системы был равен удвоенной массе шарика на скорость сближения стены и шарика.

Проверьте по нашим двум задачам - так и будет. В качестве упражнения предлагаю также рассмотреть задачу, в которой стена и шарик двужутся с равными скоростями друг другу навстречу. Можно сказать так:

в части стены, о которую ударяется мяч, "запасена" энергия для изменения импульса мяча.

В первом случае - для изменения направления движения мяча без изменения модуля скорости, во втором случае - для ускорения мяча до 2V (в случае со взаимным движением - до 3V). В обоих наших случаях изменение импульса DP=2*m*V. На самом деле конечно никакой такой энергии там не запасено, всю работу по изменению импульса производят силы упругой деформации мяча, но для пояснения принципа решения задачи так сказать можно, это вполне допустимо. Хотя... Почему бы и не поговорить о силах упругой деформации? Давайте рассмотрим момент из задачи с неподвижной стенкой когда мячик стукнулся и скорость центра масс стала равной 0. Ясно, что в этот момент силы упругой деформации уже произвели работу по остановке мяча (m*V^2/2) и запасли достаточно энергии для разгона мяча до первоначальной скорости (m*V^2/2). Вот именно эта запасенная и потраченная энергия (m*V^2) и есть та самая "спрятанная за стенкой" энергия, что производит работу по изменению импульса мяча во всех случаях, в какой бы системе отсчета мы не находились. Все остальные наши построения и рассуждения лишь помогают осознать и обяъяснить то, что мы реально видим.

Так. Но мы уже кажется забыли зачем му тут так здорово собрались. Пора бы уже вспомнить, что решаем мы совсем иную задачу - задачу о двух летящих шарах (см. рис 1.1). Ну что же, давайте посмотрим на нее. Итак, что же тут происходит? Давайте есть мамонта по частям - а именно рассмотрим удары мячиков отдельно. Вот что мы видим: первый шарик стукается о стену. Рассмотрим момент, когда вся его кинетическая энергия перешла в потенциальную энергию сжатия. Как было уже сказано, этой энергии достаточно, чтобы изменить импульс шарика на 2*m*V. Надо сказать, что шар, просто стоящий у стены в принципе ничем от стены не отличается, его можно считать частью стены. И в этот момент на него налетает второй шар! Налетает причем не просто на стену, а на часть стены, в которой запасено достаточно энергии для изменения импульса шара на 2*m*V. Стоп! Где-то выше я уже такую фразу говорил...

Ну и что же у нас получается в результате? Силы упругости в самом шарике изменят его импульс на 2*m*V (изменив лишь направление движения) и еще 2*m*V добавит прижатый к стене первый шарик. Таким образом его конечная скорость будет равна 3V.

Кстати, если между шариками будет достаточный зазор для того, чтоб первый из них успел оторваться до столкновения со вторым, никакого величения скорости не будет.

Вот такая задачка. У кого-то есть вопросы, уточнения, возражения? Рассмотрение задачи с использование "фиктивных" шаров оставляю для самостоятельной работы. Также полезно выполнить лабораторную работу - взять пару мячиков, поставить их один на другой и отпустить с небольшой высоты. Я хочу подчеркнуть - с небольшой. А то лампочку разобьете ненароком, потом мне претензии выкатите....

Не, ну ерунда конечно. Только что дочке книжку читал и там про себя вот что вычитал:

"Ослик был сегодня зол,
он узнал, что он осел"
Subscribe

  • Футорка

    Практическая польза покупки посудомоечной машины: узнал новое слово сантехническое.

  • Так и думал.

    Я, собственно, сперва комментарий со своим недоумением в жж scholast оставил. А сегодня вот ещё один решил, уже под следующим постом. Ан…

  • Весна наверное

    Сегодня, как обычно в пятницу, приехал из города и собрался было пойти на наброски, да завернул в ближайшую кофейню. "Белый стриж" называется, очень…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 33 comments

  • Футорка

    Практическая польза покупки посудомоечной машины: узнал новое слово сантехническое.

  • Так и думал.

    Я, собственно, сперва комментарий со своим недоумением в жж scholast оставил. А сегодня вот ещё один решил, уже под следующим постом. Ан…

  • Весна наверное

    Сегодня, как обычно в пятницу, приехал из города и собрался было пойти на наброски, да завернул в ближайшую кофейню. "Белый стриж" называется, очень…